Caderno de Cálculo: Uma dica para resolver limites com incógnitas no expoente

sexta-feira, 31 de maio de 2013

Uma dica para resolver limites com incógnitas no expoente

Limites parecidos com esse acima são comuns e geralmente produzem dúvidas nos alunos. Nesse post, mostrarei uma forma alternativa de resolvê-los. Vou usar um limite específico, mas outros exercícios com a mesma forma poderão ser resolvidos de modo semelhante.

Primeiramente, temos que:

$L= \lim_{x \rightarrow \infty } (1+\frac{1}{x})^x$

aplicando o logaritmo natural:

$ln(L)=ln[ \lim_{x \rightarrow \infty } (1+\frac{1}{x})^x]$

por propriedade:

$ln(L)= \lim_{x \rightarrow \infty } ln[(1+\frac{1}{x})^x]$

usando a propriedade do logaritmo:

$ln(L)= \lim_{x \rightarrow \infty } x*ln(1+\frac{1}{x})$

fazendo x=1/t:

$ln(L)= \lim_{t \rightarrow 0 } \frac{ln(1+t)}{t}$

aplicando a regra de L'Hospital:

$ln(L)= \lim_{t \rightarrow 0 } \frac{1}{1+t}$

resolvendo o limite:

$ln(L)= \frac{1}{1+0}=1$

daí vem o resultado L:

$L=e^1=e$

logo:

$\lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{x})^x=e$

Onde e é o número de Euler, base do logaritmo natural.

Obs.: Só se pode aplicar a regra de L'Hospital quando temos uma indeterminação da forma $\frac{0}{0}$ ou $\frac{ \infty }{ \infty }$ . Observe que na resolução, antes do ponto em que se aplica a regra, o que temos são as formas $1^ \infty$ e $\infty * 0$ .