Roteiro: Máximos e Mínimos

Esse é um dos temas mais importantes da disciplina e um dos mais usados em outras matérias da faculdade. O estudo dos pontos críticos das funções é muito importante em Estatística, Física e na Engenharia portanto é preciso dominar bem este assunto.

Vou usar como exemplo a função .

1º Passo: Derivar a função.

Um ponto crítico - seja ponto máximo, mínimo ou de inflexão - sempre terá como reta tangente uma reta paralela ao eixo x; logo, a derivada nesse ponto será zero. Fazemos então a derivada e a igualamos a zero para encontrarmos os ponto críticos (pontos onde a primeira derivada é nula):

Resolvendo a equação:

  ou 

esses são os pontos críticos dessa função.

2º Passo: Fazer a segunda derivada.

O segundo passo é fazer o teste da segunda derivada e testarmos os pontos obtidos no passo 1:

Testando os pontos achados no primeiro passo:

   e   

A seguinte tabela pode ser usada para classificarmos os pontos obtidos no passo 1:

2ª derivada maior que zero	2ª derivada igual a zero	2ª derivada menor que zero
É ponto de mínimo	Não se pode concluir	É ponto de máximo

Como visto, para o primeiro ponto, a segunda derivada é negativa, sendo assim, esse é um ponto de máximo. Já com o segundo ponto testado, a segunda derivada é positiva, sendo portanto um ponto de mínimo. Para decidir se são mínimos e máximos locais ou globais, é preciso considerar certos aspectos:

1. O intervalo analisado: Nesse caso, como nada foi especificado, estamos analisando o intervalo .
2. Os valores que f(x) assume nas fronteiras desse intervalo: Nesse caso, vazemos os limites de f(x) para  e . Para essa função, obtemos como resultado respectivamente  e . Sendo assim, os pontos achados no passo 1 são extremos locais já que a função possui pontos maiores que o "maior" ponto de máximo e menores que o "menor" ponto de mínimo.

Abaixo, o gráfico de f(x) com os pontos extremos destacados:

Resumindo: Será ponto de máximo global, aquele para qual f(x) apresentar o mais alto valor, comparando com os outros pontos de máximo e o valor que a função assume em suas fronteiras. O mesmo se dá de forma análoga ao ponto de mínimo global.

Observação: 

Se no teste da 2ª derivada, o valor obtido for zero, tomamos o seguinte procedimento:

Seja f(x) uma função que possui todas as n primeiras derivadas contínuas. Vamos admitir que c seja um ponto crítico de f, então f '(c)=0 e que   mas .
Dessa forma:

• Se n é par e :  c é ponto de máximo local.
• Se n é par e :  c é ponto de mínimo local.
• Se n é ímpar e : c é chamado de ponto de inflexão horizontal.