Integral de sec(x)

Integrais de funções trigonométricas são encontradas em muitas tabelas, mas as vezes é pedido em provas ou exercícios que as façamos demonstrando os passos da resolução.
Vamos então fazer :
Primeiramente vamos multiplicar por: . Mas tarde explicarei porque se faz isto. Temos então:

Fazendo a multiplicação:

Agora, fazemos

logo

Observe que esse último, é o numerador da fração que estamos integrando, portanto:

Assim, temos como resultado:

O ponto chave deste problema é encontrar um algebrismo para que, quando fizermos a substituição, a função se simplifique e se torne possível integrar. Não desanime se você acha que não conseguiria ter pensado nisso; esse tipo de raciocínio vem depois de muito tempo de estudo e com o tempo, você também conseguirá "enxergar" soluções como esta.

Roteiro: Máximos e Mínimos

Esse é um dos temas mais importantes da disciplina e um dos mais usados em outras matérias da faculdade. O estudo dos pontos críticos das funções é muito importante em Estatística, Física e na Engenharia portanto é preciso dominar bem este assunto.

Vou usar como exemplo a função .

1º Passo: Derivar a função.

Um ponto crítico - seja ponto máximo, mínimo ou de inflexão - sempre terá como reta tangente uma reta paralela ao eixo x; logo, a derivada nesse ponto será zero. Fazemos então a derivada e a igualamos a zero para encontrarmos os ponto críticos (pontos onde a primeira derivada é nula):

Resolvendo a equação:

  ou 

esses são os pontos críticos dessa função.

2º Passo: Fazer a segunda derivada.

O segundo passo é fazer o teste da segunda derivada e testarmos os pontos obtidos no passo 1:

Testando os pontos achados no primeiro passo:

   e   

A seguinte tabela pode ser usada para classificarmos os pontos obtidos no passo 1:

2ª derivada maior que zero	2ª derivada igual a zero	2ª derivada menor que zero
É ponto de mínimo	Não se pode concluir	É ponto de máximo

Como visto, para o primeiro ponto, a segunda derivada é negativa, sendo assim, esse é um ponto de máximo. Já com o segundo ponto testado, a segunda derivada é positiva, sendo portanto um ponto de mínimo. Para decidir se são mínimos e máximos locais ou globais, é preciso considerar certos aspectos:

1. O intervalo analisado: Nesse caso, como nada foi especificado, estamos analisando o intervalo .
2. Os valores que f(x) assume nas fronteiras desse intervalo: Nesse caso, vazemos os limites de f(x) para  e . Para essa função, obtemos como resultado respectivamente  e . Sendo assim, os pontos achados no passo 1 são extremos locais já que a função possui pontos maiores que o "maior" ponto de máximo e menores que o "menor" ponto de mínimo.

Abaixo, o gráfico de f(x) com os pontos extremos destacados:

Resumindo: Será ponto de máximo global, aquele para qual f(x) apresentar o mais alto valor, comparando com os outros pontos de máximo e o valor que a função assume em suas fronteiras. O mesmo se dá de forma análoga ao ponto de mínimo global.

Observação: 

Se no teste da 2ª derivada, o valor obtido for zero, tomamos o seguinte procedimento:

Seja f(x) uma função que possui todas as n primeiras derivadas contínuas. Vamos admitir que c seja um ponto crítico de f, então f '(c)=0 e que   mas .
Dessa forma:

• Se n é par e :  c é ponto de máximo local.
• Se n é par e :  c é ponto de mínimo local.
• Se n é ímpar e : c é chamado de ponto de inflexão horizontal.

Uma dica para resolver limites com incógnitas no expoente

Limites parecidos com esse acima são comuns e geralmente produzem dúvidas nos alunos. Nesse post, mostrarei uma forma alternativa de resolvê-los. Vou usar um limite específico, mas outros exercícios  com a mesma forma poderão ser resolvidos de modo semelhante.

Primeiramente, temos que:

aplicando o logaritmo natural:

por propriedade:

usando a propriedade do logaritmo:

fazendo x=1/t:

aplicando a regra de L'Hospital:

resolvendo o limite:

daí vem o resultado L:

logo:

Onde e é o número de Euler, base do logaritmo natural.

Obs.: Só se pode aplicar a regra de L'Hospital quando temos uma indeterminação da forma  ou . Observe que na resolução, antes do ponto em que se aplica a regra, o que temos são as formas  e . 

No Limite

Após revisar os conceitos do ensino médio, passar pela parte que chamam de pré-cálculo ou cálculo zero, a primeira "novidade" que o aluno encontra é o Limite - e às vezes é um encontro traumático. O problema é que quase todo mundo pergunta "para que serve limite?" e quase ninguém responde aos pobres coitados...

O limite é uma ferramenta que descreve o comportamento de uma função quando ela se aproxima de um determinado valor. Existem muitas funções que apresentam descontinuidades, isto é, não estão definidas para certos valores; por exemplo tg(90°). O uso do limite permite que estudemos estes pontos "problemáticos" das funções inferindo quais valores assumiriam se não tivessem estas "falhas".

Mas, a final das contas, onde na prática se aplicam os limites?

Muitos fenômenos naturais só podem ser estudados com a aplicação do conceito de limite. Por exemplo, se quisermos saber a velocidade média de um carro, basta dividirmos o seu deslocamento pelo tempo gasto no percurso. Mas e a velocidade instantânea? Quanto tempo tem um instante? Problemas como este motivaram o desenvolvimento do Cálculo por Newton e Leibniz. Se fizermos , num instante teremos então ; fica claro que num tempo que tende a zero, o deslocamento também tende a zero o que resulta numa indeterminação do tipo . Se você já iniciou os estudos já deve estar acostumado a situações deste tipo. Na verdade, dizemos que a velocidade instantânea é uma derivada no tempo da função posição (nesse caso x(t)). Vemos então que a derivada, matéria que geralmente vem em seguida a limite, é um caso especial ou  uma extensão deste. Além disso, muitas vezes na Física, é útil fazer limites no infinito para estudar o comportamento de funções que descrevem certos fenômenos como campos elétricos ou magnéticos, por exemplo.

Sendo assim, procure estudar e entender bem esta matéria. Muitos dizem que só vemos limites em Cálculo, mas como já mostrei, isso é um erro, pois, direta ou indiretamente, tais conceitos aparecem em muitas situações. O domínio essa ferramenta abrirá muitos caminhos e facilitará o entendimento em muitas áreas do seu curso.

Isso pode?

É muito comum, quando começamos a estudar uma matéria, nos depararmos com dúvidas sobre o conteúdo. No caso do Cálculo, o aluno precisa ter em mente muitos conceitos aprendidos na escola mas que geralmente já esqueceu ou não domina muito bem. Abaixo, apresentarei as dúvidas mais comuns apresentadas por novos alunos:

• : Esse é um erro muito comum. Ao contrário do que muitos imaginam, a potência não é uma operação que possui a propriedade distributiva. O correto é   (o termo é multiplicado "c" vezes).
•  Não! Apesar de ser verdade que todo número [diferente de zero] elevado a 0 é igual a 1, 0 elevado a 0 é uma indeterminação, isto é, não há um número que seja resultado desta operação. Da   mesma forma,  também é uma indeterminação. Observe que .
• Qual a diferença entre produto vetorial e produto escalar? O produto escalar é uma operação entre vetores do  ou  que resulta num escalar:. Já o produto vetorial é uma operação entre vetores do  que resulta num outro vetor: .
•  Definitivamente não! Esse erro costuma aparecer quando o aluno aprende equações de segundo grau no colégio. A raiz quadrada de 4 é 2. A definição de raiz quadrada diz que o resultado desta operação é sempre um número real maior ou igual a zero. Isso é diferente do que acontece na resolução de uma equação de segundo grau onde . Nesse caso, tanto  como - são raízes da função .
• O que é arcsen(x)? A função arco-seno é a inversa da função seno, isto é, se sen(a)=b, então arcsen(b)=a. Existem também as funções inversas das demais funções trigonométricas como arctg, arccos, arcsec etc. Uma notação comum para arcsen(x) é  , mas ela deve ser usada com cuidado pois pode ser confundida com .
• O que é função par e função ímpar: Uma função par é aquela em que . Um exemplo de função par é a função cosseno. Já função ímpar é aquela em que . A função seno é um exemplo de função ímpar.

Existem outras dúvidas comuns entre os alunos. Com o tempo estarei postando mais exemplos no blog. Você pode também enviar suas dúvidas ou sugestões.