Derivação implícita

Um tipo muito comum e útil de técnica de derivação é a derivação de funções implícitas.
Como exemplo, apresentarei a derivação de função do tipo: .

Aplica-se o logaritmo em ambas as parcelas gerando uma função implícita:

Derivando:

Portanto, temos:

logo:

Substituindo pelo valor de y, temos como resposta:

Um outro exemplo onde essa técnica pode ser aplicada é para derivação de funções inversas.

que pode ser escrita como:

derivando ambos os lados:

isolando y':

fazendo a substituição de y:

lembrando a identidade trigonométrica:

substituindo na equação:

Portanto temos como resposta:

O domínio desses métodos de resolução é fundamental para o curso de Cálculo. Procure entender e exercitar esses conceitos.

É hora de estudar!

Tenho percebido como há pessoas que passam horas estudando, fazem dezenas de exercícios, assistem vídeo-aulas mas quando chegam na prova simplesmente não conseguem um bom resultado. No entanto, há aqueles que passam menos tempo estudando e conseguem melhores resultados. Seria isso fruto de diferentes níveis de inteligência entre as pessoas? Acredito que não.
Na verdade, tenho observado que, dentre vários fatores, o sucesso em uma prova depende principalmente de dois fatores: o seu estado durante a prova e como você se preparou para ela.
Quanto ao estado físico e psicológico durante um exame, há várias dicas disponíveis na Web sobre o assunto mas as vezes acontecem imprevistos e isso não depende de nós.
Já quanto ao preparo para a prova, observo que há muitas pessoas preocupadas em devorar listas de exercícios de modo a esgotar todas as possibilidades que possam ser cobradas no dia do exame. Passam horas fazendo contas e mais contas, olhando exercícios resolvidos e correndo atrás de provas antigas. No entanto, o que realmente faz diferença é buscar entender o conteúdo estudado e se aprofundar na essência da matéria. Assim o conteúdo será melhor assimilado e dificilmente será esquecido. Além do mais, muita gente é surpreendida quando o professor põe na prova uma questão super complexa e diferente do que havia na lista. Certamente, será muito mais fácil resolver questões desse tipo para quem procurou entender realmente a matéria do que pra quem passou tanto tempo só resolvendo listas mecanicamente.
É importante lembrar que a maioria do conteúdo aprendido é cumulativo. Sendo assim, não deixe passar muito tempo para começar a estudar porque será mais difícil quando o tempo começar a ficar escasso.
Otimize seu tempo de estudo. Embora seja importante fazer exercícios para fixar a matéria, o fundamental é aprofundar o conhecimento para que se possa melhorar a interpretação dos problemas e ser bem sucedido no dia da prova!

Prova Resolvida de Cálculo 1 - Derivada

Prova sobre Derivadas.
Prova: https://docs.google.com/file/d/0BwEGyaIgdIm3emxLdExoSlRsQVU/edit?usp=sharing
Resolução: https://docs.google.com/file/d/0BwEGyaIgdIm3SFZ1VFRCTlRpQnM/edit?usp=sharing
Envie seus comentários e dúvidas!
Agradecimentos: Prof. Emerson Freire - VCE UFF

Prova Resolvida de Cálculo 1 - Integral

Prova sobre Integrais com resolução. Por favor, se encontrar qualquer erro ou tiver dúvidas, envie seus comentários.

Prova: https://docs.google.com/file/d/0BwEGyaIgdIm3ZHNYTnRraGhObWc/edit?usp=sharing

Resolução: https://docs.google.com/file/d/0BwEGyaIgdIm3WXFJb29ydDJsNVE/edit?usp=sharing

Agradecimentos: Professor Emerson Freire - VCE UFF

A Trombeta de Gabriel

Você já imaginou algo com uma área de superfície infinita envolvendo um volume finito? Pois é, a figura acima é chamada de Trombeta de Gabriel, ou Trombeta de Torricelli, e possui essa característica. Ela é a superfície de revolução da função  , em torno do eixo x com . A explicação para esse aparente paradoxo vem do cálculo de área e volume de superfícies de revolução.

Calculando o Volume

Você deve saber que o volume de um cilindro é dado pela fórmula

,

onde  representa a área da sessão transversal e l, o seu comprimento. Observe que para um "cilindro" cujo raio seja uma função de x, o volume de uma sessão transversal de comprimento infinitesimal pode ser escrita como

.

Assim, se quisermos obter o volume desta superfície num intervalo , basta aplicarmos a integral definida

;

logo

.

Como nesse caso , teremos então, no intervalo definido, o volume da Trombeta dado pela integral imprópria:

Calculando a Área

Pode ser mostrado que a área de uma superfície de revolução é dada pela fórmula

.

Aplicando a função de interesse temos:

.

Resolvendo a integral teremos:

Sendo assim, se considerarmos que o volume seja dado em litros, vemos que a Trombeta de Gabriel poderia comportar pouco mais de 3 litros de tinta. No entanto, se alguém quisesse pintá-la, nem toda tinta do Universo seria suficiente.

O oposto é impossível

Pode ser provado que é impossível existir uma superfície de área finita e volume infinito.

Integral de sec(x)

Integrais de funções trigonométricas são encontradas em muitas tabelas, mas as vezes é pedido em provas ou exercícios que as façamos demonstrando os passos da resolução.
Vamos então fazer :
Primeiramente vamos multiplicar por: . Mas tarde explicarei porque se faz isto. Temos então:

Fazendo a multiplicação:

Agora, fazemos

logo

Observe que esse último, é o numerador da fração que estamos integrando, portanto:

Assim, temos como resultado:

O ponto chave deste problema é encontrar um algebrismo para que, quando fizermos a substituição, a função se simplifique e se torne possível integrar. Não desanime se você acha que não conseguiria ter pensado nisso; esse tipo de raciocínio vem depois de muito tempo de estudo e com o tempo, você também conseguirá "enxergar" soluções como esta.

Roteiro: Máximos e Mínimos

Esse é um dos temas mais importantes da disciplina e um dos mais usados em outras matérias da faculdade. O estudo dos pontos críticos das funções é muito importante em Estatística, Física e na Engenharia portanto é preciso dominar bem este assunto.

Vou usar como exemplo a função .

1º Passo: Derivar a função.

Um ponto crítico - seja ponto máximo, mínimo ou de inflexão - sempre terá como reta tangente uma reta paralela ao eixo x; logo, a derivada nesse ponto será zero. Fazemos então a derivada e a igualamos a zero para encontrarmos os ponto críticos (pontos onde a primeira derivada é nula):

Resolvendo a equação:

  ou 

esses são os pontos críticos dessa função.

2º Passo: Fazer a segunda derivada.

O segundo passo é fazer o teste da segunda derivada e testarmos os pontos obtidos no passo 1:

Testando os pontos achados no primeiro passo:

   e   

A seguinte tabela pode ser usada para classificarmos os pontos obtidos no passo 1:

2ª derivada maior que zero	2ª derivada igual a zero	2ª derivada menor que zero
É ponto de mínimo	Não se pode concluir	É ponto de máximo

Como visto, para o primeiro ponto, a segunda derivada é negativa, sendo assim, esse é um ponto de máximo. Já com o segundo ponto testado, a segunda derivada é positiva, sendo portanto um ponto de mínimo. Para decidir se são mínimos e máximos locais ou globais, é preciso considerar certos aspectos:

1. O intervalo analisado: Nesse caso, como nada foi especificado, estamos analisando o intervalo .
2. Os valores que f(x) assume nas fronteiras desse intervalo: Nesse caso, vazemos os limites de f(x) para  e . Para essa função, obtemos como resultado respectivamente  e . Sendo assim, os pontos achados no passo 1 são extremos locais já que a função possui pontos maiores que o "maior" ponto de máximo e menores que o "menor" ponto de mínimo.

Abaixo, o gráfico de f(x) com os pontos extremos destacados:

Resumindo: Será ponto de máximo global, aquele para qual f(x) apresentar o mais alto valor, comparando com os outros pontos de máximo e o valor que a função assume em suas fronteiras. O mesmo se dá de forma análoga ao ponto de mínimo global.

Observação: 

Se no teste da 2ª derivada, o valor obtido for zero, tomamos o seguinte procedimento:

Seja f(x) uma função que possui todas as n primeiras derivadas contínuas. Vamos admitir que c seja um ponto crítico de f, então f '(c)=0 e que   mas .
Dessa forma:

• Se n é par e :  c é ponto de máximo local.
• Se n é par e :  c é ponto de mínimo local.
• Se n é ímpar e : c é chamado de ponto de inflexão horizontal.