Caderno de Cálculo: junho 2013

Você já imaginou algo com uma área de superfície infinita envolvendo um volume finito? Pois é, a figura acima é chamada de Trombeta de Gabriel, ou Trombeta de Torricelli, e possui essa característica. Ela é a superfície de revolução da função $y=\frac{1}{x}$ , em torno do eixo x com $x \in [1,\infty[$ . A explicação para esse aparente paradoxo vem do cálculo de área e volume de superfícies de revolução.

Calculando o Volume

Você deve saber que o volume de um cilindro é dado pela fórmula

$V=\pi R^2l$ ,

onde $\pi R^2$ representa a área da sessão transversal e l, o seu comprimento. Observe que para um "cilindro" cujo raio seja uma função de x, o volume de uma sessão transversal de comprimento infinitesimal pode ser escrita como

$dV=\pi f(x)^2dx$ .

Assim, se quisermos obter o volume desta superfície num intervalo $x \in [a,b]$ , basta aplicarmos a integral definida

$\int_0^V dV= \int_a^b \pi f(x)^2 dx$ ;

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$V= \pi \int_a^b f(x)^2 dx$ .

Como nesse caso $f(x)=\frac{1}{x}$ , teremos então, no intervalo definido, o volume da Trombeta dado pela integral imprópria:

$V= \pi \int_1^\infty (\frac{1}{x})^2 dx$

$V= \pi \lim_{a \rightarrow \infty} \int_1^a (\frac{1}{x})^2 dx$

$V= \pi \lim_{a \rightarrow \infty} (-\frac{1}{x})|_{1}^{a}$

$V= \pi \lim_{a \rightarrow \infty} (-\frac{1}{a}+\frac{1}{1})$

$V= \pi$

Calculando a Área

Pode ser mostrado que a área de uma superfície de revolução é dada pela fórmula

$A = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1+f'(x)^2}dx$ .

Aplicando a função de interesse temos:

$A = 2\pi \int_1^\infty (\frac{1}{x}) \sqrt{1+(-\frac{1}{x^2})^2}dx$ .

Resolvendo a integral teremos:

$A = 2\pi \int_1^\infty \frac{ \sqrt{1+x^4}}{x^3}dx$

$A = \pi (sinh^{-1}(x^2)-\frac{\sqrt{x^4+1}}{x^2})|_{1}^{\infty}=\infty$

Sendo assim, se considerarmos que o volume seja dado em litros, vemos que a Trombeta de Gabriel poderia comportar pouco mais de 3 litros de tinta. No entanto, se alguém quisesse pintá-la, nem toda tinta do Universo seria suficiente.

O oposto é impossível

Pode ser provado que é impossível existir uma superfície de área finita e volume infinito.

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domingo, 2 de junho de 2013

A Trombeta de Gabriel