A Trombeta de Gabriel

Você já imaginou algo com uma área de superfície infinita envolvendo um volume finito? Pois é, a figura acima é chamada de Trombeta de Gabriel, ou Trombeta de Torricelli, e possui essa característica. Ela é a superfície de revolução da função  , em torno do eixo x com . A explicação para esse aparente paradoxo vem do cálculo de área e volume de superfícies de revolução.

Calculando o Volume

Você deve saber que o volume de um cilindro é dado pela fórmula

,

onde  representa a área da sessão transversal e l, o seu comprimento. Observe que para um "cilindro" cujo raio seja uma função de x, o volume de uma sessão transversal de comprimento infinitesimal pode ser escrita como

.

Assim, se quisermos obter o volume desta superfície num intervalo , basta aplicarmos a integral definida

;

logo

.

Como nesse caso , teremos então, no intervalo definido, o volume da Trombeta dado pela integral imprópria:

Calculando a Área

Pode ser mostrado que a área de uma superfície de revolução é dada pela fórmula

.

Aplicando a função de interesse temos:

.

Resolvendo a integral teremos:

Sendo assim, se considerarmos que o volume seja dado em litros, vemos que a Trombeta de Gabriel poderia comportar pouco mais de 3 litros de tinta. No entanto, se alguém quisesse pintá-la, nem toda tinta do Universo seria suficiente.

O oposto é impossível

Pode ser provado que é impossível existir uma superfície de área finita e volume infinito.

Uma dica para resolver limites com incógnitas no expoente

Limites parecidos com esse acima são comuns e geralmente produzem dúvidas nos alunos. Nesse post, mostrarei uma forma alternativa de resolvê-los. Vou usar um limite específico, mas outros exercícios  com a mesma forma poderão ser resolvidos de modo semelhante.

Primeiramente, temos que:

aplicando o logaritmo natural:

por propriedade:

usando a propriedade do logaritmo:

fazendo x=1/t:

aplicando a regra de L'Hospital:

resolvendo o limite:

daí vem o resultado L:

logo:

Onde e é o número de Euler, base do logaritmo natural.

Obs.: Só se pode aplicar a regra de L'Hospital quando temos uma indeterminação da forma  ou . Observe que na resolução, antes do ponto em que se aplica a regra, o que temos são as formas  e . 

No Limite

Após revisar os conceitos do ensino médio, passar pela parte que chamam de pré-cálculo ou cálculo zero, a primeira "novidade" que o aluno encontra é o Limite - e às vezes é um encontro traumático. O problema é que quase todo mundo pergunta "para que serve limite?" e quase ninguém responde aos pobres coitados...

O limite é uma ferramenta que descreve o comportamento de uma função quando ela se aproxima de um determinado valor. Existem muitas funções que apresentam descontinuidades, isto é, não estão definidas para certos valores; por exemplo tg(90°). O uso do limite permite que estudemos estes pontos "problemáticos" das funções inferindo quais valores assumiriam se não tivessem estas "falhas".

Mas, a final das contas, onde na prática se aplicam os limites?

Muitos fenômenos naturais só podem ser estudados com a aplicação do conceito de limite. Por exemplo, se quisermos saber a velocidade média de um carro, basta dividirmos o seu deslocamento pelo tempo gasto no percurso. Mas e a velocidade instantânea? Quanto tempo tem um instante? Problemas como este motivaram o desenvolvimento do Cálculo por Newton e Leibniz. Se fizermos , num instante teremos então ; fica claro que num tempo que tende a zero, o deslocamento também tende a zero o que resulta numa indeterminação do tipo . Se você já iniciou os estudos já deve estar acostumado a situações deste tipo. Na verdade, dizemos que a velocidade instantânea é uma derivada no tempo da função posição (nesse caso x(t)). Vemos então que a derivada, matéria que geralmente vem em seguida a limite, é um caso especial ou  uma extensão deste. Além disso, muitas vezes na Física, é útil fazer limites no infinito para estudar o comportamento de funções que descrevem certos fenômenos como campos elétricos ou magnéticos, por exemplo.

Sendo assim, procure estudar e entender bem esta matéria. Muitos dizem que só vemos limites em Cálculo, mas como já mostrei, isso é um erro, pois, direta ou indiretamente, tais conceitos aparecem em muitas situações. O domínio essa ferramenta abrirá muitos caminhos e facilitará o entendimento em muitas áreas do seu curso.